2023 年湖南卷·第8题

分步解析

1. 1令 $f(x)=x^2-2mx+m+2$，开口向上，「两根都大于 $1$」等价于三个条件同时成立。
2. 2判别式非负（有两根）：$\Delta =4m^2-4(m+2)\ge 0$，即 $m^2-m-2\ge 0$，得 $m\le -1$ 或 $m\ge 2$。
3. 3对称轴在 $1$ 的右侧：$x=m>1$。
4. 4端点函数值为正（$1$ 在两根左侧）：$f(1)=1-2m+m+2=3-m>0$，即 $m<3$。
5. 5三者取交集：$m\ge 2$ 且 $m<3$，即 $2\le m<3$，选 A。