过抛物线 y 2 =2px （ p>0 ）焦点的弦 AB 满足 y A y B = ＿＿＿＿＿＿（用 p 表示）。 -p 2 焦点弦性质焦点弦韦达定理定值全国甲卷 2023

− p 2 设焦点弦所在直线为 x = m y + 2 p （这样设可涵盖斜率不存在的情形）。代入 y 2 = 2 p x ： y 2 = 2 p ( m y + 2 p ) ，整理为 y 2 − 2 p m y − p 2 = 0 。由韦达定理： y A y B = − p 2 。（同理可得 x A x B = 4 p 2 。）

2023 全国甲卷｜抛物线·焦点弦性质

过抛物线

y^{2} = 2 p x

（

p > 0

）焦点的弦

A B

满足

y_{A} y_{B} =

＿＿＿＿＿＿（用

p

表示）。

答案

- p^{2}

分步解析

1设焦点弦所在直线为 $x = m y + \frac{p}{2}$ （这样设可涵盖斜率不存在的情形）。
2代入 $y^{2} = 2 p x$ ： $y^{2} = 2 p (m y + \frac{p}{2})$ ，整理为 $y^{2} - 2 p m y - p^{2} = 0$ 。
3由韦达定理： $y_{A} y_{B} = - p^{2}$ 。
4（同理可得 $x_{A} x_{B} = \frac{p ^{2}}{4}$ 。）

点评焦点弦的两个定值

y_{1} y_{2} = - p^{2}

与

x_{1} x_{2} = \frac{p ^{2}}{4}

是选择填空题的秒杀工具；设线时用

x = m y + \frac{p}{2}

可避免讨论斜率不存在。

#焦点弦#韦达定理#定值

2023 年真题全国甲卷

2023 年全国甲卷·第14题

分步解析

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