直线 y=x-1 与抛物线 y 2 =4x 交于 A 、 B 两点，则 |AB|= （） 8 6 4 2 10 A 直线与抛物线直线与抛物线焦点弦韦达定理全国乙卷 2024

A 注意直线过点 ( 1 , 0 ) ，恰为抛物线焦点，故可用焦点弦公式。联立消元：把 x = y + 1 代入 y 2 = 4 x 得 y 2 − 4 y − 4 = 0 ，或代入求 x ：（ x − 1 ) 2 = 4 x ，即 x 2 − 6 x + 1 = 0 。由韦达定理 x A + x B = 6 。焦点弦长 ∣ A B ∣ = x A + x B + p = 6 + 2 = 8 ，选 A。

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2024 年全国乙卷·第10题

单选题★★★★☆ 较难改编题巧法

直线

y = x - 1

与抛物线

y^{2} = 4 x

交于

A

、

B

两点，则

∣ A B ∣ =

（　　）

8

6

42

10

答案A

分步解析

1注意直线过点 $(1, 0)$ ，恰为抛物线焦点，故可用焦点弦公式。
2联立消元：把 $x = y + 1$ 代入 $y^{2} = 4 x$ 得 $y^{2} - 4 y - 4 = 0$ ，或代入求 $x$ ： $（ x - 1)^{2} = 4 x$ ，即 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 。
3由韦达定理 $x_{A} + x_{B} = 6$ 。
4焦点弦长 $∣ A B ∣ = x_{A} + x_{B} + p = 6 + 2 = 8$ ，选 A。

点评遇到抛物线的弦先看直线是否过焦点：过焦点就用

x_{1} + x_{2} + p

，不过焦点才用一般弦长公式。

#直线与抛物线#焦点弦#韦达定理

2024 年真题全国乙卷

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