抛物线

1. 1注意直线过点 $(1,0)$，恰为抛物线焦点，故可用焦点弦公式。
2. 2联立消元：把 $x=y+1$ 代入 $y^2=4x$ 得 $y^2-4y-4=0$，或代入求 $x$：$（x-1{)}^2=4x$，即 $x^2-6x+1=0$。
3. 3由韦达定理 $x_A+x_B=6$。
4. 4焦点弦长 $|AB|=x_A+x_B+p=6+2=8$，选 A。

点评遇到抛物线的弦先看直线是否过焦点：过焦点就用 $x_1+x_2+p$，不过焦点才用一般弦长公式。

1. 1对照标准式 $y^2=2px$，得 $2p=4$，即 $p=2$。
2. 2焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)=(1,0)$。
3. 3准线为 $x=-\frac{p}{2}=-1$，选 A。

点评抛物线的一切参数都由 $p$ 决定，而 $p$ 的几何意义是「焦点到准线的距离」。

1. 1设焦点弦所在直线为 $x=my+\frac{p}{2}$（这样设可涵盖斜率不存在的情形）。
2. 2代入 $y^2=2px$：$y^2=2p\left(my+\frac{p}{2}\right)$，整理为 $y^2-2pmy-p^2=0$。
3. 3由韦达定理：$y_A{y}_B=-p^2$。
4. 4（同理可得 $x_A{x}_B=\frac{p^2}{4}$。）

点评焦点弦的两个定值 $y_1{y}_2=-p^2$ 与 $x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$ 是选择填空题的秒杀工具；设线时用 $x=my+\frac{p}{2}$ 可避免讨论斜率不存在。

1. 1由 $2p=8$ 得 $p=4$，准线为 $x=-2$。
2. 2由抛物线定义，$|PF|$ 等于 $P$ 到准线的距离：$x_0+\frac{p}{2}=x_0+2$。
3. 3令 $x_0+2=6$，解得 $x_0=4$。

点评焦半径公式 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$ 直接来自定义，是抛物线计算量最小的工具。

1. 1设抛物线上的点为 $\left(\frac{t^2}{4},t\right)$。
2. 2距离 $d=\frac{\left|\frac{t^2}{4}-t+4\right|}{\sqrt{2}}$。
3. 3分子配方：$\frac{t^2}{4}-t+4=\frac{1}{4}(t-2{)}^2+3\ge 3$，当 $t=2$ 时取最小值 $3$。
4. 4故最小距离为 $\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

点评曲线上点到直线的最小距离有两条路：参数化后配方（本题），或求与已知直线平行的切线的切点。

1. 1由 $2p=4$ 得 $p=2$。
2. 2焦点弦长公式：$|AB|=|AF|+|BF|=\left(x_A+\frac{p}{2}\right)+\left(x_B+\frac{p}{2}\right)=x_A+x_B+p$。
3. 3代入：$6+2=8$。

点评焦点弦长 $=x_1+x_2+p$（横向抛物线）或 $y_1+y_2+p$（纵向抛物线），比用弦长公式快很多。

1. 1由定义，$|PF|$ 等于 $P$ 到准线 $x=-1$ 的距离 $d$。
2. 2故 $|PA|+|PF|=|PA|+d$，即「到定点 $A$ 的距离」加「到定直线的距离」。
3. 3当 $P$、$A$ 与垂足三点共线（即 $PA$ 水平）时和最小，最小值为 $A$ 到准线的距离。
4. 4计算：$3-(-1)=4$。

点评抛物线上的最值问题一律用定义把「到焦点距离」换成「到准线距离」，再用「两点之间线段最短」或「垂线段最短」。

1. 1焦点在 $y$ 轴正半轴，设方程为 $x^2=2py$（$p>0$）。
2. 2代入点 $(2,1)$：$4=2p\times 1$，故 $2p=4$。
3. 3所以标准方程为 $x^2=4y$。

1. 1焦点弦长的倾斜角公式：$|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$。
2. 2本题 $2p=4$，$\theta =60^{\circ }$，${\sin }^{2}60^{\circ }=\frac{3}{4}$。
3. 3代入：$|AB|=\frac{4}{3/4}=\frac{16}{3}$。

点评$|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\theta }$ 说明焦点弦最短时 $\theta =90^{\circ }$，此时长度就是通径 $2p$。

1. 1抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 2准线过点 $(-2,3)$ 意味着 $-\frac{p}{2}=-2$。
3. 3解得 $p=4$。