2023 年新课标I卷·第9题

分步解析

1. 1用「$1$ 的代换」把条件乘进目标式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+2y)$。
2. 2展开得 $1+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}+2=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}$。
3. 3由基本不等式 $\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot \frac{x}{y}}=2\sqrt{2}$，故原式 $\ge 3+2\sqrt{2}$。
4. 4取等条件：$\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}$ 即 $x=\sqrt{2}y$，代入 $x+2y=1$ 有解（$y=\frac{1}{2+\sqrt{2}}>0$），故最小值为 $3+2\sqrt{2}$。