(2x+1) 5 的展开式中 x 3 的系数为＿＿＿＿＿＿。 80 二项式展开的特定项二项式定理指定项系数通项全国甲卷 2024

80 通项： T k + 1 = C 5 k ( 2 x ) 5 − k ⋅ 1 k = C 5 k 2 5 − k x 5 − k 。令 5 − k = 3 ，得 k = 2 。系数为 C 5 2 × 2 3 = 10 × 8 = 80 。

2024 年全国甲卷·第15题

填空题★★★★☆ 较难改编题通法

(2 x + 1)^{5}

的展开式中

x^{3}

的系数为＿＿＿＿＿＿。

答案

80

1通项： $T_{k + 1} = C_{5}^{k} (2 x)^{5 - k} \cdot 1^{k} = C_{5}^{k} 2^{5 - k} x^{5 - k}$ 。
2令 $5 - k = 3$ ，得 $k = 2$ 。
3系数为 $C_{5}^{2} \times 2^{3} = 10 \times 8 = 80$ 。

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