计数原理与二项式定理

1. 1通项：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k(2x{)}^{5-k}\cdot 1^k={\mathrm{C}}_5^k{2}^{5-k}{x}^{5-k}$。
2. 2令 $5-k=3$，得 $k=2$。
3. 3系数为 ${\mathrm{C}}_5^2\times 2^3=10\times 8=80$。

1. 1写出通项：$T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-2k}$。
2. 2常数项要求 $x$ 的指数为零：$6-2k=0$，得 $k=3$。
3. 3代入：$(-1{)}^3{\mathrm{C}}_6^3=-20$。

点评二项式题一律回到通项公式 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，先由「指数条件」定 $k$，再代入求系数，注意负号要一并带入。

1. 1偶数要求个位是 $2$ 或 $4$，先定特殊位置：个位有 $2$ 种选法。
2. 2剩下两位从余下的 $3$ 个数字中排列：${\mathrm{A}}_3^2=6$ 种。
3. 3由分步计数原理：$2\times 6=12$ 个。

点评有特殊位置或特殊元素的排列题，一律「特殊优先」：先安排受限制的位置，再排其余。

1. 1用间接法（正难则反）：总选法减去不含女生的选法。
2. 2总选法：从 $9$ 人中任选 $3$ 人，${\mathrm{C}}_9^3=84$。
3. 3全是男生的选法：${\mathrm{C}}_5^3=10$。
4. 4故至少 $1$ 名女生的选法为 $84-10=74$ 种。

点评出现「至少」「至多」优先考虑间接法，直接分类容易重复或遗漏。

1. 1捆绑法：把甲、乙看成一个整体，与其余 $2$ 人共 $3$ 个单元参与排列。
2. 2三个整体的排列数为 ${\mathrm{A}}_3^3=6$。
3. 3捆绑内部甲、乙可交换位置：${\mathrm{A}}_2^2=2$。
4. 4由分步计数原理，总数为 $6\times 2=12$ 种。

点评相邻用捆绑法（先捆后排再解绑），不相邻用插空法（先排其余再插空），这是排列题最常用的两把钥匙。

1. 1各项系数之和等于令 $x=1$ 时整个多项式的值。
2. 2代入：$(1-2\times 1{)}^5=(-1{)}^5$。
3. 3故各项系数之和为 $-1$。

点评赋值法是处理系数和的万能工具：$x=1$ 得全部系数和，$x=-1$ 得奇偶项系数和之差，两式联立可分离奇偶。

1. 1$4$ 个球放入 $3$ 个盒且每盒非空，球的分配方案只能是 $2+1+1$。
2. 2先从 $4$ 个球中选 $2$ 个捆成一组：${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。
3. 3此时得到三组球（一组 $2$ 个、两组各 $1$ 个，彼此可区分），分配到 $3$ 个不同盒子：${\mathrm{A}}_3^3=6$ 种。
4. 4总数为 $6\times 6=36$ 种。

点评「非空分配」的标准三步：先定分配模式（本题只能是 $2+1+1$）、再分组、最后分配到有区别的对象。

1. 1分步选取：第一名同学从 $6$ 本中选 $2$ 本，${\mathrm{C}}_6^2=15$。
2. 2第二名从剩下 $4$ 本中选 $2$ 本，${\mathrm{C}}_4^2=6$；第三名取剩下 $2$ 本，${\mathrm{C}}_2^2=1$。
3. 3由分步计数原理：$15\times 6\times 1=90$ 种。
4. 4注意：因为三名同学是不同的（分配对象有区别），不需要再除以 ${\mathrm{A}}_3^3$。

点评平均分组要不要除以 ${\mathrm{A}}_n^n$，取决于「组」是否有区别：分给具体的人不除，分成无编号的堆要除。

1. 1特殊元素优先：甲只能站中间 $3$ 个位置之一，有 $3$ 种选择。
2. 2其余 $4$ 人在剩下 $4$ 个位置全排列：${\mathrm{A}}_4^4=24$ 种。
3. 3由分步计数原理：$3\times 24=72$ 种。

点评也可用间接法：总排法 ${\mathrm{A}}_5^5=120$ 减去甲在两端的 $2\times {\mathrm{A}}_4^4=48$，同样得 $72$。

1. 1二项式系数之和为 $2^n$（可由令 $x=1$ 得到）。
2. 2由 $2^n=64$ 得 $n=6$。

点评「二项式系数和」是 $2^n$，而「各项系数和」需要令 $x=1$ 代入原式计算，两者在含常数因子时并不相同。