若不等式 ax 2 +bx+2>0 的解集为 (- 1 2 , 1 3 ) ，则 a+b= ＿＿＿＿＿＿。 -14 一元二次不等式一元二次不等式韦达定理解集反求全国乙卷 2021

− 14 解集是有限开区间说明开口向下，即 a < 0 ，且 − 2 1 与 3 1 是方程 a x 2 + b x + 2 = 0 的两根。由韦达定理的积： ( − 2 1 ) ⋅ 3 1 = a 2 ，即 − 6 1 = a 2 ，解得 a = − 12 。由韦达定理的和： − 2 1 + 3 1 = − a b ，即 − 6 1 = − − 12 b ，解得 b = − 2 。故 a + b = − 14 。

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2021 年全国乙卷·第5题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

若不等式

a x^{2} + b x + 2 > 0

的解集为

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})

，则

a + b =

＿＿＿＿＿＿。

答案

- 14

分步解析

1解集是有限开区间说明开口向下，即 $a < 0$ ，且 $- \frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{3}$ 是方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0$ 的两根。
2由韦达定理的积： $(- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{a}$ ，即 $- \frac{1}{6} = \frac{2}{a}$ ，解得 $a = - 12$ 。
3由韦达定理的和： $- \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = - \frac{b}{a}$ ，即 $- \frac{1}{6} = - \frac{b}{- 12}$ ，解得 $b = - 2$ 。
4故 $a + b = - 14$ 。

点评已知解集反求系数，先由解集形状定符号（开口方向），再用韦达定理，比直接代根解方程组更少出错。

#一元二次不等式#韦达定理#解集反求

2021 年真题全国乙卷

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