2021 年全国乙卷·第20题

分步解析

1. 1定义域为 $(0,+\infty )$，求导：$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$。因 $x>0$，$f^{\prime }$ 的符号由分子 $1-ax$ 决定。
2. 2当 $a\le 0$ 时，$-ax\ge 0$，故 $1-ax>0$ 恒成立，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
3. 3当 $a>0$ 时，令 $1-ax=0$ 得 $x=\frac{1}{a}>0$，落在定义域内，需分段讨论。
4. 4在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上 $1-ax>0$，$f^{\prime }>0$，$f$ 递增；在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上 $f^{\prime }<0$，$f$ 递减。
5. 5综上即得结论。