若函数 f 在区间 I 上满足：对任意 x 1 ,x 2 I 都有 f ( x 1 +x 2 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ) 2 ，则称 f 在 I 上「下凸」。判断 f(x)=x 2 在 R 上是否下凸。是下凸函数。阅读理解型

Question

若函数 f 在区间 I 上满足：对任意 x 1 ,x 2 I 都有 f ( x 1 +x 2 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ) 2 ，则称 f 在 I 上「下凸」。判断 f(x)=x 2 在 R 上是否下凸。 是下凸函数。 阅读理解型问题 新定义 凸函数 作差法 北京卷 2023

Accepted Answer

是下凸函数。按定义作差：

\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} - f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2}}{2} - (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})^{2}

。通分整理：

= \frac{2 ( x _{1}^{2} + x _{2}^{2} ) - ( x _{1} + x _{2} ) ^{2}}{4} = \frac{x _{1}^{2} - 2 x _{1} x _{2} + x _{2}^{2}}{4}

。即差值为

\frac{( x _{1} - x _{2} ) ^{2}}{4} \geq 0

。故不等式恒成立，

f (x) = x^{2}

在

R

上下凸（等号当且仅当

x_{1} = x_{2}

时成立）。

2023 年北京卷·第20题