空间几何体与线面关系

1. 1由 $S=4\pi R^2=16\pi$ 得 $R^2=4$，即 $R=2$。
2. 2球体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$。
3. 3代入：$V=\frac{4}{3}\pi \times 8=\frac{32\pi }{3}$，选 A。

1. 1由母线、底面半径、高构成直角三角形：$h=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 2圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
3. 3代入：$V=\frac{1}{3}\pi \times 9\times 4=12\pi$，选 A。

点评圆锥的「母线、半径、高」永远构成直角三角形，这是所有圆锥计算的起点。

1. 1圆柱侧面展开是矩形，宽为底面周长 $2\pi r$，长为高 $h$。
2. 2故 $S_{\text{侧}}=2\pi rh$。
3. 3代入：$2\pi \times 2\times 3=12\pi$。

点评旋转体的侧面积一律用「展开图」推导：圆柱展成矩形，圆锥展成扇形（弧长 = 底面周长）。

1. 1A 对：体对角线 $=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 2B 对：外接球半径 $R=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，表面积 $4\pi R^2=12\pi$。
3. 3C 对：$△ABD$ 是直角边为 $2$ 的直角三角形，面积 $2$；高为 $A{A}_1=2$，体积 $\frac{1}{3}\times 2\times 2=\frac{4}{3}$。
4. 4D 对：表面积 $=6\times 2^2=24$。
5. 5故选 ABCD。

1. 1长方体的体对角线就是外接球的直径：$2R=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$。
2. 2故 $R=\frac{\sqrt{14}}{2}$，$R^2=\frac{14}{4}$。
3. 3球表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{14}{4}=14\pi$。

点评「墙角模型」：三条两两垂直的棱可以补成长方体，外接球直径等于体对角线，这是外接球问题的第一联想。

1. 1由 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，而 $BC\subset$ 平面 $ABCD$，得 $PA\perp BC$。
2. 2由底面 $ABCD$ 是矩形，得 $BC\perp AB$。
3. 3$PA$ 与 $AB$ 是平面 $PAB$ 内的两条相交直线（交于点 $A$）。
4. 4由线面垂直的判定定理，$BC\perp$ 平面 $PAB$。

点评线面垂直判定的三个条件缺一不可：面内两条直线、必须相交、都与已知直线垂直。阅卷时「相交」二字是硬性采分点。

1. 1A 错：平行于同一平面的两条直线可以相交或异面，如天花板下方两条交叉的直线。
2. 2B 对：垂直于同一直线的两个平面必平行，这是「线面垂直的性质定理」的直接推论。
3. 3C 错：$m$ 可能落在 $\beta$ 内（此时不叫平行），缺少「$m\not\subset \beta$」的条件。
4. 4D 错：两个平行平面内的直线可以异面，如上下两层楼里方向不同的两条走廊。
5. 5故选 B。

点评空间位置关系判断题一律用「长方体模型」找反例：把选项放到教室或正方体里比划一遍，比背定理更快。

1. 1$PA\perp$ 平面 $ABC$ 说明 $PA$ 就是以 $△ABC$ 为底面时的高。
2. 2锥体体积公式：$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}\cdot h$。
3. 3代入：$V=\frac{1}{3}\times 4\times 3=4$。

1. 1球心在上下底面中心连线的中点。先求底面外接圆半径：正三角形边长 $a=2\sqrt{3}$，外接圆半径 $r=\frac{a}{\sqrt{3}}=2$。
2. 2球心到底面中心的距离为侧棱长的一半：$d=\frac{4}{2}=2$。
3. 3由勾股定理：$R^2=r^2+d^2=4+4=8$。
4. 4故 $R=2\sqrt{2}$。

点评柱体外接球的通法：球心必在上下底面外心连线的中点，再用 $R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$ 一步到位。

1. 1圆柱体积：$V_1=\pi r^{2}h=\pi \times 1\times 3=3\pi$。
2. 2圆锥体积：$V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 1\times 3=\pi$。
3. 3组合体体积为两者之和：$3\pi +\pi =4\pi$。

点评组合体先「拆」再「合」：体积可以直接相加，但表面积要扣掉重合的接触面。

1. 1外接球直径等于体对角线：$2R=2\sqrt{3}$，故 $R=\sqrt{3}$。
2. 2内切球直径等于棱长：$2r=2$，故 $r=1$。
3. 3两者之比为 $\sqrt{3}:1$，选 A。

点评正方体三个球的半径口诀：外接球看体对角线、内切球看棱长、与各棱相切的球看面对角线。