三角函数图象与性质

1. 1由最大值得 $A=2$。
2. 2由 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$ 得 $\omega =2$。
3. 3$f\left(\frac{\pi }{6}\right)=2$ 说明 $x=\frac{\pi }{6}$ 是最高点，故 $2\times \frac{\pi }{6}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。
4. 4解得 $\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi$，由 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 取 $\phi =\frac{\pi }{6}$，选 A。

点评求解析式的顺序固定为「先 $A$（看最值）、再 $\omega$（看周期）、最后 $\phi$（代最高点或零点）」，并用 $|\phi |$ 的范围定唯一值。

1. 1A 对：$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
2. 2B 对：把 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入得 $2\times \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，为最值点，故该直线是对称轴。
3. 3C 对：$x\in \left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 时整体 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$，落在正弦的递增区间内。
4. 4D 错：代入 $x=\frac{\pi }{6}$ 得 $2\times \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$，而 $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\ne 0$，不是对称中心。
5. 5故选 ABC。

点评多选题要逐项验证，不能凭印象；对称轴代入后应得 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，对称中心代入后应得 $k\pi$。

1. 1第一步平移：向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 是把 $x$ 换成 $x+\frac{\pi }{6}$，得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 2第二步伸缩：横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 是把 $x$ 换成 $2x$，得 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。
3. 3故选 A。

点评「先平移后伸缩」与「先伸缩后平移」结果不同：本题若先伸缩再平移 $\frac{\pi }{6}$，得到的是 $\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ 之外的另一个式子，务必按题目顺序操作。

1. 1正弦型函数为偶函数，等价于 $y$ 轴 $x=0$ 是它的对称轴。
2. 2对称轴条件：$0+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$。
3. 3取 $k=0$ 得 $\phi =\frac{\pi }{2}$（此时 $f(x)=\cos x$，确为偶函数），选 A。

点评$\sin$ 型为偶 ⟺ $\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$；$\sin$ 型为奇 ⟺ $\phi =k\pi$。这两条结论可直接用于选择题。

1. 1最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
2. 2对称轴处正弦取到最值，令 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$。
3. 3解得 $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$，取 $k=0$ 得对称轴 $x=\frac{\pi }{12}$，选 A。

点评正弦型函数「轴过最值、心过零点」：对称轴令整体等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，对称中心令整体等于 $k\pi$。

1. 1正弦函数在 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 上递增，把整体代入。
2. 2令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le x-\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$。
3. 3三边同时加 $\frac{\pi }{4}$：$-\frac{\pi }{4}+2k\pi \le x\le \frac{3\pi }{4}+2k\pi$。
4. 4即单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi \right]$，$k\in \mathbf{Z}$。

点评求单调区间必须带 $k\in \mathbf{Z}$，只写一个区间会被扣分；若 $\omega <0$ 还需先用诱导公式把 $\omega$ 化为正数。

1. 1余弦型函数的对称中心处函数值为零：$\omega \cdot \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$。
2. 2两边同乘 $\frac{3}{\pi }$：$\omega +1=\frac{3}{2}+3k$，即 $\omega =\frac{1}{2}+3k$。
3. 3由 $\omega >0$，取 $k=0$ 得最小值 $\omega =\frac{1}{2}$，选 A。

1. 1向右平移 $a$ 个单位是把 $x$ 换成 $x-a$，本题 $a=\frac{\pi }{6}$。
2. 2得 $y=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right]$。
3. 3展开括号：$y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$，选 A。

点评平移量要乘以 $\omega$：平移 $\frac{\pi }{6}$ 在相位上体现为 $\frac{\pi }{3}$，忘记乘 $\omega$ 就会误选 B。

1. 1用辅助角公式化为单一三角函数：$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 2由 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 得整体 $x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$。
3. 3在该区间上 $\sin$ 的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$（最大值在 $\frac{\pi }{2}$ 处，最小值在两端点处取到）。
4. 4故 $f(x)\in \left[\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2}\cdot 1\right]=[1,\sqrt{2}]$。

点评求值域的固定三步：化一角一函数 → 求整体角的范围 → 在该范围上看三角函数的取值，切忌直接对两端点代入。

1. 1统一为同名函数：${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$，故 $f(x)=1-{\sin }^{2}x+\sin x$。
2. 2换元：令 $t=\sin x\in [-1,1]$，则 $y=-t^2+t+1$。
3. 3配方：$y=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$，对称轴 $t=\frac{1}{2}$ 落在 $[-1,1]$ 内。
4. 4故最大值为 $\frac{5}{4}$（此时 $\sin x=\frac{1}{2}$，有解）。

点评「二次型三角函数」一律换元成二次函数，但必须写出新元 $t$ 的取值范围并检验对称轴是否落在其中。

1. 1$\sin$ 的最大值为 $1$，故 $f$ 的最大值为 $2\times 1+1=3$。
2. 2取最大值需 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$。
3. 3解得 $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$，最小正值为 $\frac{\pi }{6}$，选 A。