数学文化与逻辑推理

1. 1设 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则倒数为 $\frac{2}{\sqrt{5}-1}$。
2. 2分母有理化：$\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
3. 3故选 A。
4. 4（也可由方程 $x^2+x-1=0$ 得 $x(x+1)=1$，即 $\frac{1}{x}=x+1$，同样得到倒数比原数大 $1$。）

点评黄金分割比最优美的性质是「倒数 = 自身 + 1」，由方程 $x^2+x=1$ 一步得到，比有理化更快。

1. 1设从本端起每尺重量依次为 $a_1,a_2,\cdots ,a_5$，成等差数列，已知 $a_1=4$，$a_5=2$。
2. 2五尺总重即前 $5$ 项和：$S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}$。
3. 3代入：$S_5=\frac{5\times (4+2)}{2}=15$。
4. 4故金箠共重 $15$ 斤，选 A。

点评数学文化题的情境只是包装：本题剥掉《九章算术》的外衣后，就是「已知首末项求等差数列和」的基础题。

1. 1观察规律：左边是前 $n$ 个正奇数之和，右边是项数的平方。
2. 2归纳猜想：$1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$。
3. 3验证（用等差求和证明）：左边是首项 $1$、末项 $2n-1$、共 $n$ 项的等差数列，和为 $\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2$。
4. 4猜想成立，选 A。

点评合情推理题要「先归纳、后证明」：观察出规律只是猜想，用等差求和或数学归纳法验证才算完整。

1. 1条件即：除以 $3$ 余 $2$，除以 $5$ 余 $3$，除以 $7$ 余 $2$。
2. 2先满足除以 $3$ 余 $2$ 与除以 $7$ 余 $2$：两者余数相同，故该数减 $2$ 是 $21$ 的倍数，即形如 $21k+2$。
3. 3逐个检验：$k=0$ 得 $2$，$2÷5$ 余 $2$，不符；$k=1$ 得 $23$，$23÷5=4$ 余 $3$，符合。
4. 4故最小正整数为 $23$，选 A。

点评「余数相同」是简化同余问题的突破口：本题除以 $3$ 与除以 $7$ 都余 $2$，立刻把两条件合并成「除以 $21$ 余 $2$」。

1. 1先算 $a^2{b}^2=9\times 16=144$。
2. 2再算 $\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=\frac{9+16-25}{2}=0$。
3. 3代入公式：$S=\sqrt{\frac{1}{4}(144-0)}=\sqrt{36}=6$。
4. 4（验证：$3,4,5$ 为直角三角形，面积 $\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$，一致。）

点评秦九韶的「三斜求积术」与西方海伦公式等价，比海伦公式早于欧洲传入，是中国古代数学的高峰之一。

1. 1$\frac{355}{113}\approx 3.1415929$，而 $\pi \approx 3.1415927$。
2. 2两者之差约为 $2.7\times 10^{-7}$。
3. 3故误差小于 $10^{-6}$，选 A。

点评祖冲之的密率 $\frac{355}{113}$ 精确到小数点后 $6$ 位，是分母小于 $16600$ 的所有分数中最接近 $\pi$ 的，领先西方约一千年。

1. 1反证法要否定的是「结论」，即「$a$、$b$ 中至少有一个大于 $1$」。
2. 2「至少有一个大于 $1$」的否定是「两个都不大于 $1$」。
3. 3「不大于」即「小于或等于」，故假设为 $a\le 1$ 且 $b\le 1$，选 A。
4. 4（由此可推出 $a+b\le 2$，与已知矛盾，原命题得证。）

点评反证法只否定结论、不动条件；「至少一个」的否定是「一个都没有」，且「>」的否定是「≤」，两处都不能写错。

1. 1假设甲说真话，则乙说谎，即「丙说谎」为假，故丙说真话——出现两人说真话，与「只有一人」矛盾，排除。
2. 2假设乙说真话，则丙说谎，即「甲和乙都说谎」为假；又甲若说真话则乙说谎，与假设矛盾，故甲说谎，此时「甲和乙都说谎」确实为假（因乙说真话），自洽。
3. 3假设丙说真话，则甲、乙都说谎；乙说谎意味着「丙说谎」为假即丙说真话，与「丙说真话」一致，但甲说谎意味着乙说真话，与「乙说谎」矛盾，排除。
4. 4故说真话的是乙，选 B。

点评逻辑推理题的通法是「逐一假设 + 检验矛盾」：假设某人说真话，推出全部人的真假，看是否与题设人数一致。

1. 1逐项与平方数比较：$2=1+1$，$5=4+1$，$10=9+1$，$17=16+1$，$26=25+1$。
2. 2即每一项都比对应的完全平方数 $n^2$ 大 $1$。
3. 3故通项为 $a_n=n^2+1$。
4. 4代入验证 $n=1,2,3$ 分别得 $2,5,10$，与题目一致，选 A。

点评找通项的常用手段是「与熟悉数列作差」：与 $n^2$、$2^n$、$n(n+1)$ 等标准数列比较，差往往是常数或简单式子。

1. 1设第一日织 $a_1$ 尺，公比 $q=2$，五日共织 $5$ 尺。
2. 2由等比数列求和：$S_5=\frac{a_1(2^5-1)}{2-1}=31a_1$。
3. 3由 $31a_1=5$ 得 $a_1=\frac{5}{31}$。
4. 4故第一日织 $\frac{5}{31}$ 尺，选 A。

点评「日自倍」即公比为 $2$，这类古算题的关键是把文言描述准确翻译成首项与公比。