双曲线

1. 1由方程得 $a=2$，$b^2=12$。
2. 2通径长公式为 $\frac{2b^2}{a}$。
3. 3代入：$\frac{2\times 12}{2}=12$，选 A。

点评椭圆、双曲线的通径都是 $\frac{2b^2}{a}$，抛物线的通径是 $2p$，三者可对照记忆。

1. 1由标准方程读出 $a=3$，$b=4$。
2. 2焦点在 $x$ 轴上的双曲线，渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
3. 3故渐近线为 $y=\pm \frac{4}{3}x$，选 A。

点评求渐近线的机械方法：把方程右边的 $1$ 换成 $0$ 再解，可自动得到正确的 $\frac{b}{a}$ 或 $\frac{a}{b}$，不必记忆焦点位置。

1. 1焦点在 $x$ 轴上且 $c=5$，故 $a^2+b^2=25$。
2. 2由渐近线 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$ 得 $b=\frac{4}{3}a$。
3. 3代入：$a^2+\frac{16}{9}{a}^2=25$，即 $\frac{25}{9}{a}^2=25$，得 $a^2=9$，$b^2=16$。
4. 4故方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$。

1. 1由渐近线 $y=\frac{b}{a}x=2x$ 得 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。
2. 2代入 $c^2=a^2+b^2=a^2+4a^2=5a^2$。
3. 3故 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$。

点评双曲线的渐近线斜率与离心率由同一个量 $\frac{b}{a}$ 决定：$e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$，知一即可求另一。

1. 1渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，两条斜率之积为 $-\frac{b^2}{a^2}$。
2. 2互相垂直要求斜率之积为 $-1$：$\frac{b^2}{a^2}=1$，即 $a=b$。
3. 3代入 $c^2=a^2+b^2=2a^2$，得 $e=\sqrt{2}$。

1. 1由方程得 $a=2$，双曲线定义：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=4$。
2. 2设 $|P{F}_2|=d$，则 $|8-d|=4$，得 $d=4$ 或 $d=12$。
3. 3检验可行性：$c=\sqrt{4+5}=3$，$P$ 在左支时最小的左焦距为 $c-a=1$，在右支时最小左焦距为 $c+a=5$，$|P{F}_1|=8$ 两种情形都可能。
4. 4故 $|P{F}_2|=4$ 或 $12$。

点评双曲线定义带绝对值，必有两种可能，必须用「焦半径的最小值」检验哪一支可行——很多题会因此只保留一个解。

1. 1取 $B(0,b)$，$F(c,0)$，则 $|BF|=\sqrt{b^2+c^2}$。
2. 2由 $b^2=c^2-a^2$ 得 $|BF|=\sqrt{2c^2-a^2}$。
3. 3由条件 $\sqrt{2c^2-a^2}=2a$，两边平方得 $2c^2=5a^2$。
4. 4故 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{2}$，$e=\frac{\sqrt{10}}{2}$。

点评凡是给出线段长度的条件，先用坐标写出该长度，再统一换成 $a$、$c$，最后除以 $a$ 得到关于 $e$ 的方程。

1. 1取右焦点 $F(c,0)$ 与渐近线 $bx-ay=0$。
2. 2由点到直线距离公式：$d=\frac{|bc-0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}$。
3. 3化简得 $d=b$，选 A。

点评「焦点到渐近线的距离恒等于 $b$」是双曲线最实用的结论之一，见到这个条件可直接列方程。

1. 1含正号的项是 $y^2$，说明焦点在 $y$ 轴上，且 $a^2=9$，$b^2=16$。
2. 2实轴长 $2a=6$。
3. 3由 $c^2=a^2+b^2=9+16=25$ 得 $c=5$，焦点为 $(0,\pm 5)$。

点评双曲线的焦点位置由「哪一项是正号」决定，与分母大小无关——这一点与椭圆完全不同，最易混淆。

1. 1等轴双曲线的定义是实轴与虚轴等长，即 $a=b$。
2. 2代入 $c^2=a^2+b^2=2a^2$，故 $c=\sqrt{2}a$。
3. 3所以 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$。

点评等轴双曲线的三个特征：$a=b$、渐近线 $y=\pm x$（互相垂直）、$e=\sqrt{2}$，三者互为充要条件。