直线与圆

1. 1圆心为直径的中点：$\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,3)$。
2. 2半径为直径的一半：$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-2{)}^2}=2\sqrt{2}$，故 $r=\sqrt{2}$。
3. 3代入标准方程：$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=2$。

1. 1圆心为 $(0,0)$，半径 $r=2$。
2. 2圆心到直线的距离：$d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 3弦长公式：$L=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{14}$。
4. 4故选 A。

点评「半径、弦心距、半弦」构成直角三角形，弦长问题一律用 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$，比联立方程快得多。

1. 1切线长、半径、圆心到外点的距离构成直角三角形。
2. 2$|OP|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，半径 $r=3$。
3. 3由勾股定理，切线长 $=\sqrt{|OP{|}^2-r^2}=\sqrt{25-9}=4$。

点评切线长公式 $\sqrt{d^2-r^2}$ 是圆的高频结论，其中 $d$ 是外点到圆心的距离。

1. 1配方：$x^2-4x=(x-2{)}^2-4$，$y^2+2y=(y+1{)}^2-1$。
2. 2代回原方程：$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2-4-1-4=0$，即 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$。
3. 3故圆心 $(2,-1)$，半径 $3$，选 A。

点评一般式化标准式一律用配方；也可直接记 $D,E,F$ 公式：圆心 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径 $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$。

1. 1相切等价于圆心到直线的距离等于半径。
2. 2把直线写成一般式 $kx-y=0$，圆心 $(2,0)$ 到它的距离为 $\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}$。
3. 3令其等于 $1$：$4k^2=k^2+1$，即 $3k^2=1$。
4. 4解得 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

点评圆的相切、相交、相离问题一律比较「圆心距」与「半径」，不必联立方程算判别式。

1. 1两圆心分别为 $C_1(0,0)$、$C_2(3,4)$，半径分别为 $r_1=1$、$r_2=4$。
2. 2圆心距：$|C_1{C}_2|=\sqrt{9+16}=5$。
3. 3比较：$r_1+r_2=5$，恰好等于圆心距。
4. 4故两圆外切。

点评两圆位置关系全靠圆心距 $d$ 与 $r_1\pm r_2$ 比较：$d=r_1+r_2$ 外切，$d=|r_1-r_2|$ 内切，介于两者之间为相交。

1. 1平行直线系：设所求直线为 $2x+y+c=0$（与已知直线仅常数项不同）。
2. 2代入点 $(1,2)$：$2\times 1+2+c=0$，解得 $c=-4$。
3. 3故所求直线为 $2x+y-4=0$。

点评用直线系设方程可以省去求斜率：平行设 $Ax+By+c=0$，垂直设 $Bx-Ay+c=0$。

1. 1两直线垂直的一般式条件：$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$。
2. 2代入：$2\times a+a\times 2=0$，即 $4a=0$。
3. 3解得 $a=0$，选 A。

点评用一般式的垂直条件 $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ 可以避开斜率不存在的讨论，比 $k_1{k}_2=-1$ 更稳。

1. 1圆心为原点，半径 $r=2$；圆心到直线 $x-y+m=0$ 的距离 $d=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$。
2. 2A 对：$m=0$ 时直线为 $y=x$，过原点即圆心。
3. 3B 对：$m=2\sqrt{2}$ 时 $d=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2=r$，相切。
4. 4C 对：$m=4$ 时 $d=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}>2$，相离。
5. 5D 对：$|m|<2\sqrt{2}$ 时 $d<2=r$，相交。故选 ABCD。

点评直线与圆的所有位置关系都由 $d$ 与 $r$ 的大小决定，一次算出 $d$ 的表达式即可批量判断各选项。

1. 1把方程按 $m$ 整理：$m(x+2)+(x-y+1)=0$。
2. 2要对一切 $m$ 成立，必须两个括号同时为零。
3. 3由 $x+2=0$ 得 $x=-2$；代入 $x-y+1=0$ 得 $y=-1$。
4. 4故定点为 $(-2,-1)$。

点评含参直线过定点的通法：按参数合并同类项，令参数的系数与常数项分别为零，解出的交点即定点。

1. 1先求圆心 $(0,0)$ 到直线的距离：$d=\frac{|-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2$。
2. 2因 $d=2>r=1$，直线与圆相离。
3. 3圆上点到直线的距离最大值为 $d+r$，最小值为 $d-r$。
4. 4故最大值为 $2+1=3$。

点评圆上动点到定直线距离的最值＝圆心距 ± 半径，这一结论把动点问题一步化为定点问题。