统计与成对数据分析

1. 1总人数为 $600+500+400=1500$，抽样比为 $\frac{75}{1500}=\frac{1}{20}$。
2. 2高三应抽取人数 = 高三人数 × 抽样比。
3. 3计算：$400\times \frac{1}{20}=20$（人）。

点评分层抽样的核心是「同一抽样比」，先算比例再乘各层人数，比按比例分配总量更不易出错。

1. 1平均数：$\frac{2+3+5+7+8}{5}=\frac{25}{5}=5$。
2. 2数据已按从小到大排列，共 $5$ 个（奇数个），中位数是第 $3$ 个数，即 $5$。
3. 3故选 A。

点评求中位数前必须先排序；数据个数为偶数时取中间两数的平均值。

1. 1平均数：$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$。
2. 2各偏差平方：$(1-3{)}^2=4$，$(2-3{)}^2=1$，$(3-3{)}^2=0$，$(4-3{)}^2=1$，$(5-3{)}^2=4$，和为 $10$。
3. 3方差 $s^2=\frac{10}{5}=2$。
4. 4标准差 $s=\sqrt{2}$。

1. 1数据整体加常数不改变波动程度，方差不变。
2. 2数据整体乘以 $a$，方差变为原来的 $a^2$ 倍。
3. 3本题 $a=2$，故新方差为 $2^2\times 4=16$，选 A。

点评平均数随线性变换同步变化（$a\bar{x}+b$），方差只受系数影响且要平方——这是统计中最常考的一组性质。

1. 1频率 = （频率/组距）× 组距 = $0.03\times 10=0.3$。
2. 2频数 = 频率 × 样本容量 = $0.3\times 100$。
3. 3故该组频数为 $30$。

点评直方图的纵轴是「频率/组距」而非频率，小矩形的面积才是频率，所有面积之和为 $1$。

1. 1A 对：整体平移改变中心位置但不改变波动，$\bar{x}\to \bar{x}+c$，$s^2$ 不变。
2. 2B 对：$\bar{x}\to 2\bar{x}$，$s^2\to 2^2{s}^2=4s^2$。
3. 3C 错：当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值，可能不属于原数据，如 $1,2,3,4$ 的中位数为 $2.5$。
4. 4D 对：极差 = 最大值 − 最小值，是最粗略的离散程度度量。
5. 5故选 ABD。

1. 1相关系数的符号表示相关方向：$r<0$ 为负相关。
2. 2$|r|$ 越接近 $1$ 相关性越强，本题 $|r|=0.95$ 接近 $1$，相关性很强。
3. 3相关不等于因果，D 错误。
4. 4故选 A。

点评「相关不等于因果」是统计题的常设陷阱：数据只能说明两个变量同向或反向变化，不能推出谁导致谁。

1. 1五组频率之和为 $0.1+0.2+0.4+0.2+0.1=1$，符合频率分布的要求。
2. 2第三组频率为 $0.4$。
3. 3频数 = 频率 × 样本容量 = $0.4\times 200=80$。

1. 1零假设 $H_0$：接种疫苗与是否患病相互独立（即疫苗无效）。
2. 2由公式 ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中 $a=80$，$b=20$，$c=60$，$d=40$，$n=200$。
3. 3代入：$ad-bc=80\times 40-20\times 60=3200-1200=2000$；分母为 $100\times 100\times 140\times 60=84000000$。
4. 4故 ${\chi }^2=\frac{200\times 2000^2}{84000000}=\frac{800000000}{84000000}\approx 9.524$。
5. 5因 $9.524>7.879$，故拒绝零假设，即有 $99.5\%$ 的把握认为接种与患病有关联。

点评独立性检验的规范作答必须包含三步：写零假设、算 ${\chi }^2$、与临界值比较后回到实际情境下结论——只算数不下结论要扣分。

1. 1新数据恰好等于原平均数，故总和与个数按同一比例增加，平均数仍为 $10$。
2. 2方差是偏差平方的平均：新加入的数据偏差为 $0$，使偏差平方和不变而数据个数增加。
3. 3分子不变、分母变大，故方差变小（数据更集中）。
4. 4选 A。

点评加入等于平均数的数据是「稳定器」：不改变中心，但会降低离散程度，这是统计概念题的高频考法。

1. 1回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$，即 $(5,10)$。
2. 2代入求截距：$10=2\times 5+\hat{a}$，得 $\hat{a}=0$。
3. 3故回归方程为 $\hat{y}=2x$。
4. 4预测：$x=8$ 时 $\hat{y}=16$。

点评「回归直线必过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$」是求截距的唯一入口，也是判断回归方程是否算错的检验点。