概率与古典概型

1. 1由上题已求得 $P(B)=0.032$。
2. 2由贝叶斯公式：$P(A_2\mid B)=\frac{P(A_2)P(B\mid A_2)}{P(B)}$。
3. 3代入：$\frac{0.4\times 0.05}{0.032}=\frac{0.02}{0.032}=0.625$。
4. 4即该次品来自乙生产线的概率为 $\frac{5}{8}$。

点评贝叶斯公式是「由果溯因」：分子是某个原因导致结果的概率，分母是全概率。先算全概率再代入，顺序不能反。

1. 1两枚骰子的所有结果为有序数对，总数 $6\times 6=36$，且等可能。
2. 2点数和为 $7$ 的结果：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$，共 $6$ 种。
3. 3故概率为 $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。

点评两枚骰子问题必须按「有序对」计数，把 $(1,6)$ 与 $(6,1)$ 算作两种结果，否则样本点不再等可能。

1. 1互斥事件不可能同时发生，故 $P(AB)=0$。
2. 2由加法公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。
3. 3代入：$0.3+0.4-0=0.7$，选 A。

点评互斥是「不能同时发生」，独立是「互不影响」，两者完全不同：互斥事件概率相加，独立事件概率相乘。

1. 1「至少一人命中」的对立事件是「两人都没命中」。
2. 2两人独立，故都没命中的概率为 $(1-0.8)(1-0.7)=0.2\times 0.3=0.06$。
3. 3所求概率为 $1-0.06=0.94$。

点评「至少有一个发生」优先算对立事件，独立事件的概率相乘只在事件独立时成立。

1. 1不考虑顺序，总取法为 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种。
2. 2颜色不同即一红一白：${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1=6$ 种。
3. 3概率为 $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

点评不放回取球既可用组合（不计顺序）也可用排列（计顺序），只要分子分母口径一致，结果相同。

1. 1条件概率公式：$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。
2. 2代入：$\frac{0.3}{0.6}=0.5$。
3. 3故选 A。

点评条件概率的本质是「缩小样本空间」：分母换成已知发生的那个事件的概率。

1. 1设 $A_1$、$A_2$ 分别表示产品来自甲、乙生产线，$B$ 表示取到次品。$A_1$、$A_2$ 构成完备事件组。
2. 2已知 $P(A_1)=0.6$，$P(A_2)=0.4$，$P(B\mid A_1)=0.02$，$P(B\mid A_2)=0.05$。
3. 3由全概率公式：$P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)$。
4. 4代入：$0.6\times 0.02+0.4\times 0.05=0.012+0.02=0.032$。

点评全概率公式的关键是找到一组「不重不漏」的完备事件组（本题即产品的来源），再按来源加权求和。

1. 1设 $A$ 为「点数为偶数」，则 $A=\{2,4,6\}$，$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
2. 2设 $B$ 为「点数大于 $3$」，则 $AB=\{4,6\}$，$P(AB)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
3. 3由条件概率公式：$P(B\mid A)=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$。
4. 4（也可直接在缩小后的样本空间 $\{2,4,6\}$ 中数：满足条件的有 $4,6$，故为 $\frac{2}{3}$。）

1. 1各次射击独立且成功率相同，属于 $n=3$、$p=0.6$ 的独立重复试验。
2. 2恰好命中 $2$ 次的概率：${\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p{)}^1$。
3. 3代入：$3\times 0.36\times 0.4=0.432$。

点评识别独立重复试验的三个特征：次数固定、每次只有两个结果、各次独立且概率相同——满足即可直接套二项公式。

1. 1总取法：${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种，等可能。
2. 2和为偶数要求两数同奇或同偶：奇数有 $1,3,5$ 共 $3$ 个，取两个有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种；偶数有 $2,4$ 共 $2$ 个，取两个有 ${\mathrm{C}}_2^2=1$ 种。
3. 3有利结果共 $3+1=4$ 种。
4. 4概率为 $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，选 A。