幂函数与函数模型

1. 1$3$ 小时 $=180$ 分钟，可分裂 $\frac{180}{20}=9$ 次。
2. 2每分裂一次数量翻倍，属于指数增长模型：$N=1\times 2^9$。
3. 3计算得 $512$ 个，选 A。

点评指数增长模型的三要素：初始量、增长倍数、增长次数；先算「经历了几个周期」是最容易出错的一步。

1. 1代入已知点：$2^{\alpha }=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$。
2. 2由指数函数的单调性（同底比较指数）得 $\alpha =\frac{1}{2}$，即 $f(x)=\sqrt{x}$。
3. 3故 $f(9)=\sqrt{9}=3$，选 A。

点评幂函数只有一个待定参数 $\alpha$，一个点即可确定；注意它与指数函数 $y=a^x$ 的区别：底数与指数谁是变量。

1. 1定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。
2. 2$f(-x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x}{x^2}=-f(x)$，为奇函数，排除 B、D。
3. 3当 $x>0$ 时 ${\mathrm{e}}^x>1>{\mathrm{e}}^{-x}$，分子为正、分母为正，故 $f(x)>0$。
4. 4选 A。

点评图象识别的标准套路：先判奇偶排一半，再取一个特殊点（或看某区间符号）排剩下的，几乎不需要真的画图。

1. 1定义域 $[-\pi ,\pi ]$ 关于原点对称。
2. 2计算 $f(-x)=(-x)\cos (-x)=-x\cos x=-f(x)$。
3. 3满足奇函数定义，图象关于原点对称，选 A。

点评图象识别题的第一刀永远是奇偶性：奇函数排除关于 $y$ 轴对称的选项，能一次去掉一半干扰项。

1. 1设点 $(x_0,y_0)$ 在 $y=f(x)$ 的图象上，即 $y_0=f(x_0)$。
2. 2考察点 $(-x_0,y_0)$：代入第二个函数得 $f(-(-x_0))=f(x_0)=y_0$，成立。
3. 3即两图象上的点横坐标互为相反数、纵坐标相同。
4. 4故两图象关于 $y$ 轴对称。

点评三条对称规律：$f(x)$ 与 $f(-x)$ 关于 $y$ 轴、与 $-f(x)$ 关于 $x$ 轴、与 $-f(-x)$ 关于原点对称。

1. 1向右平移 $1$ 个单位：把 $x$ 换成 $x-1$，得 $y=2^{x-1}$。
2. 2向上平移 $2$ 个单位：整体加 $2$，得 $y=2^{x-1}+2$。
3. 3故选 A。

点评平移口诀「左加右减、上加下减」中，左右的加减作用在自变量 $x$ 上，上下的加减作用在整个函数值上。

1. 1平均成本为 $\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{100}{x}+2+\frac{x}{100}$（$x>0$）。
2. 2由基本不等式：$\frac{100}{x}+\frac{x}{100}\ge 2\sqrt{\frac{100}{x}\cdot \frac{x}{100}}=2$。
3. 3故 $\bar{C}(x)\ge 4$，当且仅当 $\frac{100}{x}=\frac{x}{100}$，即 $x^2=10000$，$x=100$ 时取等。
4. 4故产量为 $100$ 件时平均成本最低（为 $4$ 元/件）。

点评应用题三步走：设变量、列函数、写定义域。本题定义域 $x>0$ 保证了基本不等式可用。

1. 1幂函数 $y=x^{\alpha }$ 在 $(0,+\infty )$ 上的单调性由 $\alpha$ 的符号决定：$\alpha >0$ 递增，$\alpha <0$ 递减。
2. 2四个选项的指数分别为 $-1$、$\frac{1}{2}$、$2$、$3$。
3. 3只有 $\alpha =-1<0$，故 $y=x^{-1}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，选 A。

1. 1定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称；且 $f(-x)=\lg |-x|=\lg |x|=f(x)$，为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称。
2. 2当 $x>0$ 时 $|x|=x$，函数化为 $y=\lg x$，单调递增。
3. 3故选 A。

1. 1提价 $20\%$ 后价格为 $a(1+0.2)=1.2a$。
2. 2再降价 $20\%$ 是在新价格基础上降：$1.2a\times (1-0.2)=1.2a\times 0.8$。
3. 3计算得 $0.96a$ 元，比原价低，选 A。

点评百分比的增减基数不同：先涨后跌同样幅度必然低于原价，因为跌的基数更大。